Ⅵ-1.6 중단원 점검하기 · 원의 성질

A원과 직선의 위치 관계

Ⅵ-1.1 · 3 problems

주제

중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 의 비교.

Q01★

반지름 $r=10$, 중심에서 직선까지 거리 $d=6$ 일 때 원과 직선의 위치 관계는?

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$d=6 < r=10$ 이므로 두 점에서 만남 (할선).

Q02★★

반지름 $13$ 인 원에서 현의 길이가 $24$ 일 때, 중심으로부터 그 현까지의 거리는?

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반-현 $=12$. $d^2 = 169-144 = 25$, $d=5$. (5-12-13)

Q03★★

외부 점 $P$ 에서 $\overline{OP}=15$, 원의 반지름 $r=9$ 일 때 접선의 길이는?

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$\overline{PT} = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} = 12$. (9-12-15 = 3×3-4-5)

B현의 수직이등분선

Ⅵ-1.2 · 3 problems

주제

중심의 수선은 현을 이등분 · 같은 거리 ⟺ 같은 길이 · 원의 중심 찾기.

Q04★

반지름 $5$ 인 원에서 중심으로부터 거리 $4$ 인 현의 길이는?

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반-현 $= \sqrt{25-16} = 3$. 현 $= 2 \cdot 3 = 6$. (3-4-5)

Q05★★

한 원에서 두 현 $\overline{AB}, \overline{CD}$ 가 중심으로부터 같은 거리에 있고 $\overline{AB}=10$ 이다. $\overline{CD}$ 의 길이는?

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정리 3 (역): 같은 거리 ⟺ 같은 길이. $\overline{CD} = 10$.

Q06★★★

세 점 $A(0,0), B(6,0), C(6,8)$ 을 지나는 원의 반지름은?

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$\overline{AB}$ 의 수직이등분선: $x=3$. $\overline{BC}$ 의 수직이등분선: $y=4$. 중심 $(3,4)$. 반지름 $\overline{OA} = \sqrt{9+16} = 5$. (3-4-5)

C접선의 성질

Ⅵ-1.3 · 3 problems

주제

접선 ⊥ 반지름 · 외부점 두 접선의 길이 같음 · 외접 사각형 대변 합.

Q07★

외부 점 $P$, $\overline{OP}=10$, 반지름 $r=6$. 접선의 길이는?

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$\overline{PT} = \sqrt{100-36} = 8$. (6-8-10)

Q08★★

원에 외접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{AB}=8, \overline{BC}=6, \overline{CD}=12$. $\overline{DA}$ 의 길이는?

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$\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{BC}+\overline{DA}$ → $8+12 = 6+\overline{DA}$ → $\overline{DA}=14$.

Q09★★★

반지름 $5$ 인 원의 외부 점 $P$ 에서 두 접선이 이루는 각이 $60°$ 이다. $\overline{OP}$ 의 길이는?

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$\overline{OP}$ 가 $\angle APB$ 이등분 → $\angle APO = 30°$. 직각삼각형 $\triangle OAP$: $\sin 30° = \dfrac{r}{\overline{OP}}$ → $\overline{OP} = \dfrac{5}{1/2} = 10$.

D원주각과 중심각

Ⅵ-1.4 · 3 problems

주제

원주각 = ½ × 중심각 · 탈레스 정리 · 호의 비례.

Q10★

한 호에 대한 중심각이 $80°$ 일 때 원주각의 크기는?

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$\angle APB = \tfrac{1}{2}(80°) = 40°$.

Q11★★

지름 $\overline{AB}$ 인 원 위의 점 $P$ 에서 $\angle ABP = 25°$ 일 때 $\angle BAP$ 의 크기는?

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탈레스: $\angle APB = 90°$. $\angle BAP = 180° - 90° - 25° = 65°$.

Q12★★★

원에 내접하는 삼각형 $\triangle ABC$ 에서 호 $\overarc{AB} : \overarc{BC} : \overarc{CA} = 1 : 2 : 3$ 일 때 $\angle C$ 의 크기는?

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호 합 $=360°$. 비례 $1:2:3$ → $60°, 120°, 180°$. $\angle C$ 는 호 $\overarc{AB}$ (= $60°$) 에 대한 원주각 → $30°$.
(참고: 호 $\overarc{CA}=180°$ 이므로 $\overline{CA}$ 가 지름이고 $\angle B = 90°$.)

E원에 내접하는 사각형

Ⅵ-1.5 · 3 problems

주제

대각의 합 $180°$ · 외각 = 마주보는 내각 · 내접 판정.

Q13★

원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 110°$ 일 때 $\angle C$ 의 크기는?

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$\angle C = 180° - 110° = 70°$.

Q14★★

원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{BC}$ 의 연장선 위의 점 $E$ 에 대해 $\angle DCE = 95°$ 일 때 $\angle A$ 의 크기는?

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외각 정리: $\angle A = \angle DCE = 95°$.

Q15★★★

원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 3\angle C$ 이다. $\angle A$ 의 크기는?

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$\angle A + \angle C = 180°$ 이고 $\angle A = 3\angle C$ → $4\angle C = 180°$ → $\angle C = 45°$ → $\angle A = 135°$.

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